Question

已知函数y=x•e^kx（k≠0）．
（1）求函数在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出函数的导数，对k讨论，分k＞0，k＜0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）函数y=x•e^kx（k≠0）的导数为y′=e^kx+kxe^kx，
即有函数在（0，f（0））处的切线斜率为k=e⁰+0=1，
切点为（0，0），
则函数在（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（2）y′=e^kx+kxe^kx=（1+kx）e^kx，
当k＞0，由y′＞0，即1+kx＞0，解得x＞-

1

k

；
由y′＜0，即1+kx＜0，解得x＜-

1

k

．
当k＜0，由y′＞0，即1+kx＞0，解得x＜-

1

k

；
由y′＜0，即1+kx＜0，解得x＞-

1

k

．
则有当k＞0，函数的增区间为（-

1

k

，+∞），减区间为（-∞，-

1

k

）；
当k＜0，函数的减区间为（-

1

k

，+∞），增区间为（-∞，-

1

k

）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查分类讨论的思想方法，正确求导和掌握导数的几何意义是解题的关键．