Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1有相同的焦点F₁，F₂，且该双曲线的渐近线方程为y=±

3

x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过该双曲线的右焦点F₂作斜率不为零的直线与此双曲线的左，右两支分别交于点m、n，设

MF2

=λ

F2N

，当x轴上的点G满足

F1F2

⊥（

GM

-λ

GN

）时，求点G的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦点和渐近线方程求其标准方程即可；
（2）设出直线方程，直线方程和双曲线方程联立，利用向量的关系，即可求得．

解答： 解：（1）由题可知：

b

a

=

3

，c=2，c²=a²+b²，解得a²=1．b²=1，
所求双曲线方程为 x2-

y2

3

=1…（5分）
（2）设过点F₂的直线方程为：x=ky+2，
联立方程组 

x2- y2 3 =1 x=ky+2

，消去x得：（3k²-1）y²+12ky+9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 

y1+y2= -12k 3k2-1 y1y2= 9 3k2-1

   ①…（7分）
由

MF2

=λ

F2N

得：λ=-

y1

y2

，②
设G（t，0），由

F1F2

=（4，0），及

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)得：
（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂）•（4，0），即x₁-t-λx₂+λt=0，③…（10分）
由②，③得ky₁+2-t+

y1

y2

(ky2+2)-

y1

y2

t=0，
代入上述条件得：t=

1

2

，即G（

1

2

，0）．…（13分）

点评：本题主要考查双曲线的性质和标准方程，直线与双曲线的相交，向量的应用．