Question

设函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）．
（1）若a=0，当x∈[

1

2

，1]时恒有f（x）≥0，求b 的取值范围；
（2）若a≠0且b=-1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；
（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；
（2）b=-1时，y=a（x²-1）-x-2，当x²=1时，无论a取任何值，y=-x-2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，-3）和（-1，-1），运用函数的定义即可得到结论；
（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at²+（2b+1）t-a-2=0，即（t²-1）a+（2t）b+t-2=0，由点到直线的距离意义可知

a2+b2

≥

|t-2|

(t2-1)2+4t2

=

|t-2|

t2+1

，由此只要求

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]的最小值．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x-2，
当x∈[

1

2

，1]时恒有f（x）≥0，
则f（

1

2

）≥0且f（1）≥0，
即b-

3

2

≥0且2b-1≥0，
解得b≥

3

2

；
（2）b=-1时，y=a（x²-1）-x-2，
当x²=1时，无论a取任何值，y=-x-2为定值，
y=f（x）图象一定过点（1，-3）和（-1，-1）
由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y₁）（y₁≠-3）和B（-1，y₂）（y₂≠-1）；
（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at²+（2b+1）t-a-2=0
即（t²-1）a+（2t）b+t-2=0，
由点到直线的距离意义可知

a2+b2

≥

|t-2|

(t2-1)2+4t2

=

|t-2|

t2+1

，
由此只要求

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]的最小值．
令g（t）=

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]
设u=t-2，u∈[1，2]，则
g（t）=f（u）=

u

u2+4u+5

=

1

u+ 5 u +4

∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值

1

10

，
∴t=3时，a²+b²的最小值为

1

100

．

点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．