Question

如图，△ABC所在平面上的点P_n（n∈N^*）均满足△P_nAB与△P_nAC的面积比为3；1，

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

（其中，{x_n}是首项为1的正项数列），则x₅等于
（　　）

• A、65
• B、63
• C、33
• D、31

Answer 1

考点：数列递推式,向量的三角形法则

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：由

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

可得

PnA

+（2x_n+1）

PnC

=

xn+1

3

PnB

，画出图形后利用三角形面积的关系得到数列递推式，然后构造等比数列得答案．

解答： 解：由

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

，
得

PnA

+（2x_n+1）

PnC

=

xn+1

3

PnB

，
设

PnD

=(2xn+1)

PnC

，
以线段P_nA、P_nD作出图形如图，

则

PnA

+(2xn+1)

PC

=

pnE

=

xn+1

3

PnB

，
∴

| PnE |

| PnB |

=

xn+1

3

，∴

S△PnAE

S△PnAB

=

xn+1

3

，
∵

| PnC |

| PnD |

=

|PnC|

|AE|

=

1

1+2xn

，∴

S△PnAC

S△PnAD

=

S△PnAC

S△PnAE

=

1

1+2xn

，
则

S△PnAC

S△PnAB

=

xn+1

3(1+2xn)

=

1

3

，
即x_n+1=2x_n+1，∴x_n+1+1=2（x_n+1），
则{x_n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x5+1=2•24=32，
则x₅=31．
故选：D．

点评：本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．