Question

【题目】已知f（x）=aln（x2+1）+bx存在两个极值点x1 ， x2 ．
（1）求证：|x1+x2|＞2；
（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由f（x）=aln（x2+1）+bx的导数为f′（x）= +b= ，

令g（x）=bx2+2ax+b，由题意可得g（x）=0有两个不同的非零实根，

得△=4a2﹣4b2＞0，

因此a＞b＞0，

所以 ＞1；

所以x1+x2=﹣ ＜﹣2，

即|x1+x2|＞2

（2）解：由（1）知x1x2=1，

f（x1）+f（x2）+a

=aln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+a

=aln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+a

=aln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+a

=2aln ﹣a，

由f（x1）+f（x2）+a+λb=0得﹣λ= ln ﹣ ，

设t= ＞2，则﹣λ=tlnt﹣ t，

令h（t）=tlnt﹣ t，t＞2．

h′（t）=1+lnt﹣ =lnt+ ＞0，

h（t）在（2，+∞）是增函数．

因此﹣λ＞2ln2﹣1，

即为λ＜1﹣2ln2

【解析】（1）由f（x）的导数，可设g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有两个不同的非零实根x1 ， x2 ， 可得 ＞1，结合韦达定理可得结论；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，化简整理可得﹣λ= ln ﹣ ，设t= ＞2，则﹣λ=tlnt﹣ t，求出右边函数的导数，判断单调性，进而可得λ的取值范围．