【题目】设点,
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为0.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,点
,
是直线
上的两点,且
,
,求四边形
面积
的最大值.
【答案】(1);(2)2.
【解析】
(1)利用的最小值为0,可得
,
,即可求椭圆
的方程;
(2)将直线的方程
代入椭圆
的方程中,得到关于
的一元二次方程,由直线
与椭圆
仅有一个公共点知,
即可得到
,
的关系式,利用点到直线的距离公式即可得到
,
.当
时,设直线
的倾斜角为
,则
,即可得到四边形
面积
的表达式,利用基本不等式的性质,结合当
时,四边形
是矩形,即可得出
的最大值.
(1)设,则
,
,
,
,
由题意得,,
椭圆
的方程为
;
(2)将直线的方程
代入椭圆
的方程
中,
得.
由直线与椭圆
仅有一个公共点知,
,
化简得:.
设,
,
当时,设直线
的倾斜角为
,
则,
,
,
,
∴当时,
,
,
.
当时,四边形
是矩形,
.
所以四边形面积
的最大值为2.
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【题目】已知动圆经过定点,且与定直线
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程
;
(2)已知点,过点
作直线
与
交于
,
两点,过点
作
轴的垂线分别与直线
,
交于点
,
(
为原点),求证:
为线段
中点.
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【题目】设复数β=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0(m∈R)的一个虚根,且|β|=2,求实数m的值;
(2)设复数β满足条件|β+3|+(﹣1)n|β﹣3|=3a+(﹣1)na(其中n∈N*、常数),当n为奇数时,动点P(x、y)的轨迹为C1.当n为偶数时,动点P(x、y)的轨迹为C2.且两条曲线都经过点
,求轨迹C1与C2的方程;
(3)在(2)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于,求实数x0的取值范围.
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【题目】已知函数(
)在
上至少存在两个不同的
,
满足
,且
在
上具有单调性,点
和直线
分别为
图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是( )
A.的最小正周期为
B.
C.在
上是减函数
D.将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到
的图象,则
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【题目】从某工厂生产的某种产品中抽取1000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差
(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布
,其中以
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(ⅰ)利用该正态分布,求;
(ⅱ)某用户从该工厂购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6,140)的产品件数,利用(ⅰ)的结果,求
.
附:.若
,则
,
.
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【题目】从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看,本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面:本科就业压力大,提升竞争力;通过考研选择真正感兴趣的专业;为了获得学历;继续深造;随大流;有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图(单位:万人)的拆线图.
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,预测2021年全国硕士研究生报考人数.
参考数据:;
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
.
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【题目】华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:
)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.
(1)请根据两队身高数据作出茎叶图,并分析指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数;
(2)现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?
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