Question

【题目】已知动圆经过定点，且与定直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）已知点，过点作直线与交于，两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，（为原点），求证：为线段中点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义，可得圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，从而得出方程；

（2）设，，设直线斜率为，则直线方程为，与抛物线联立得出，且，写出韦达定理，，再通过直线的交点分别求出和，从而求出，结合韦达定理，化简得，即可证出：为线段中点．

解：（1）由题意知，动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，

由抛物线定义知，

动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

其中，

即动圆圆心的轨迹方程为:.

（2）设，，显然直线斜率存在且不为0，设为，

则直线方程为，

将与抛物线方程：联立，

得，，，，

又，联立得，

同理可得，

则

，

即，

所以为线段中点．