Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在上的最小值；

（2）若是的两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当时，，分析函数的单调性即可得到最值；

（2），分，，，四种情况讨论，易得当且时，在和处取极值，结合即可得到答案.

（1）当时，，

∵当或时，，当时，，

∴在区间上是增函数，在上是减函数，在区间上是增函数，

当时，取极大值，当时，取极小值，

∵，

∴在上的最小值为.

（2）由题知，，

①若，则当时，，当时，，∴在区间

上是减函数，在上是增函数，∴当时，取极小值；

②若，则当或时，，当时，，

∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取极大值，当时，取极小值；

③若，则，∴在区间上是增函数，∴无极值；

④若，则当或时，，当时，，

∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取极大值，当时，取极小值；

综上可得，当且时，在和处取极值，

∴

∴，即，解得且，

∴实数的取值范围为.