【题目】已知函数.
(1)当时,求在上的最小值;
(2)若是的两个不同的极值点,且,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)当时,,分析函数的单调性即可得到最值;
(2),分,,,四种情况讨论,易得当且时,在和处取极值,结合即可得到答案.
(1)当时,,
∵当或时,,当时,,
∴在区间上是增函数,在上是减函数,在区间上是增函数,
当时,取极大值,当时,取极小值,
∵,
∴在上的最小值为.
(2)由题知,,
①若,则当时,,当时,,∴在区间
上是减函数,在上是增函数,∴当时,取极小值;
②若,则当或时,,当时,,
∴在区间上是增函数,在区间上是减函数,在上是增函数,
∴当时,取极大值,当时,取极小值;
③若,则,∴在区间上是增函数,∴无极值;
④若,则当或时,,当时,,
∴在区间上是增函数,在区间上是减函数,在上是增函数,
∴当时,取极大值,当时,取极小值;
综上可得,当且时,在和处取极值,
∴
∴,即,解得且,
∴实数的取值范围为.
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【题目】小刘同学大学毕业后自主择业,回到农村老家发展蜜桔收购,然后卖出去,帮助村民致富.小刘打算利用“互联网+”的模式进行销售.为了更好地销售,假设该村每颗蜜柚树结果50个,现随机选了两棵树的蜜柚摘下来进行测重,其质量分布在区间内(单位:千克)的个数:,10;,10;,15;,40;,20;,5.
(1)作出其频率分布直方图并求其众数;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村蜜袖树上大约还有100颗树的蜜柚待出售,小刘提出两种收购方案:
A.所有蜜柚均以16元/千克收购;
B.低于2.25千克的蜜柚以22元/个收购,高于或等于2.25千克的以30元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
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【题目】已知动圆C过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,圆心C的轨迹为E,
(1)求圆心C的轨迹E的方程;
(2)若直线l交E与P,Q两点,且线段PQ的中心点坐标(1,1),求|PQ|.
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【题目】某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
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【题目】若关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费(万元)有如下统计资料:
若由资料知,对呈线性相关关系.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?(精确到两位小数);
(3)计算第2年和第6年的残差.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;.
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【题目】已知动圆经过定点,且与定直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)已知点,过点作直线与交于,两点,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,(为原点),求证:为线段中点.
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【题目】已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.
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