Question

【题目】已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由见解析.

【解析】

（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.

（1）由题意可知，椭圆的上焦点为、，

由椭圆的定义可得，可得，，

因此，所求椭圆的方程为；

（2）设点的坐标为，则，得，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

联立，解得，即点，

直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，，，

因此，.