Question

9．已知函数f（x）=x²e^-ax-1（a是常数），
（1）求函数y=f（x）的单调区间：（2）当x∈（0，16）时，函数f（x）有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导数，分三种情况讨论：①当a=0时和②当a＜0时，③当a＜0时；讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间即可．
（2）结合（1），求出f（x）在（0，16）的最小值，根据最小值小于0，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=2xe^-ax-ax²e^ax=（2x-ax²）e^-ax．
①当a=0时，若x＜0，则f′（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
②当a＞0时，由2x-ax²＜0，解得x＜0或x＞$\frac{2}{a}$，
由2x-ax²＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{a}$．
所以当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（$\frac{2}{a}$，+∞）内为减函数．
③当a＜0时，由2x-ax²＜0，解得$\frac{2}{a}$＜x＜0，
由2x-ax²＞0，解得x＜$\frac{2}{a}$或x＞0．
所以，当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（$\frac{2}{a}$，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
综上所述：①当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
②当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（$\frac{2}{a}$，+∞）内为减函数；
③当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（$\frac{2}{a}$，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
（2）由（1）①a=0时，f（x）=x²-1，令f（x）=0，解得：x=1，符合题意；
②a＞0时，f（x）在区间（0，$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（$\frac{2}{a}$，+∞）内为减函数；
若0＜$\frac{2}{a}$＜16，即a＞$\frac{1}{8}$，则f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，16）递增，
故f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{{e}^{2}a}^{2}}$-1，若x∈（0，16）时，函数f（x）有零点，
只需f（x）_min=$\frac{4}{{{e}^{2}a}^{2}}$-1＜0，解得：a＞$\frac{2}{e}$，
而$\frac{2}{e}$＞$\frac{1}{8}$，故a＞$\frac{2}{e}$
若$\frac{2}{a}$≥16，即0＜a≤$\frac{1}{8}$则（x）在（0，16）递减，f（x）_min＞f（16）=16²e^-16a-1，
若x∈（0，16）时，函数f（x）有零点，
只需16²e^-16a-1＜0，解得：a＜$\frac{1}{2}$ln2，
而$\frac{1}{2}$ln2≈0.346＞$\frac{1}{8}$，故0＜a≤$\frac{1}{8}$，
③a＜0时，f（x）在（0，+∞）递增，f（x）＞f（0）=-1，函数有零点，
综上，a＞$\frac{2}{e}$或a≤$\frac{1}{8}$．

点评 考查学生会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．