Question

14．设f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，且xf′（x）lnx＞f（x），则（　　）

• A． f（2）＜f（4）ln2，2f（e）＞f（e²）
• B． f（2）＜f（4）ln2，2f（e）＜f（e²）
• C． f（2）＞f（4）ln2，2f（e）＜f（e²）
• D． f（2）＞f（4）ln2，2f（e）＞f（e²）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$（x＞1），求导研究函数g（x）的单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$（x＞1），
则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）lnx-f（x）•\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$=$\frac{x{f}^{′}（x）lnx-f（x）}{xl{n}^{2}x}$＞0，因此函数g（x）在x＞1时单调递增．
∴$\frac{f（2）}{ln2}$＜$\frac{f（4）}{ln4}$，$\frac{f（e）}{lne}＜\frac{f（{e}^{2}）}{ln{e}^{2}}$，
化为：f（2）$＜\frac{1}{2}f（4）$＜f（4）ln2，2f（e）＜f（e²）．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．