Question

设数集S={a，b，c，d}满足下列两个条件：
（1）?x，y∈S，xy∈S；
（2）?x，y，z∈S或x≠y，则xz≠yz．
现给出如下论断：
①a，b，c，d中必有一个为0；    
②a、b，c，d中必有一个为1；
③若x∈S且xy=1，则y∈S；   
④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x²=y，y²=z．
其中正确论断的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：全称命题

专题：集合

分析：根据集合元素满足的条件，分别进行判断和推理即可得到结论．

解答：解：由（2）知0不属于S（①不成立），由（1）可推出对于任意a，b，c，d∈S，abcd∈S，
∴abcd等于a，b，c，d中的某一个，
不妨设abcd=a，
∵a≠0，∴bcd=1（由（1）知②成立），
∴若③中x=b，则y=cd，
由（1）知cd∈S，即y∈S，
∴x=b时③成立，
同理有x=c时③成立和x=d时③成立，
下面讨论x=a时，
∵1∈S，∴若a=1，则y=1∈S，③成立（最后会证到a即abcd不可能等于1），
若a≠1，则b，c，d中的某个等于1，
不妨设b=1，由bcd=1知cd=1，
由（1）知ac∈S，又∵ac≠a（即c≠1），
ac≠b（即a≠d），
ac≠c（即a≠1），
∴ac=d，
同理有ad=c，
∴ac•ad=d•c，∴a²=1，
∴a=-1，
∴y=-1∈S，∴③成立，
综上，对于任意x∈S，xy=1，有y∈S成立，
即③成立，
由a≠1即abcd≠1的讨论可知
当abcd≠1时，S={1，-1，i，-i}，（联立cd=1，ac=d，ad=c解出a，c，d）
此时，④成立，
若a=1即abcd=1，
则bcd=1=a，
由1知cd∈S，
若cd=a=1，则b=bcd=a，不可能，
若cd=c，则d=1=a，不可能，
若cd=d，则c=1=a，不可能，
∴cd=b，
∴b²=b•cd=a，
同理有c²=a，d²=a，
∵a的平方根有且只有两个值，
那么b，c，d中至少有两个相同，
这与b，c，d同属于S矛盾，
∴不存在a=1即abcd=1的情况，
∴④成立．
故选：C．

点评：本题主要考查集合元素关系的判断，根据条件分别进行讨论是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．