Question

已知f（x）=2^x，x∈R，可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②从而可得h（x）=

1

2

(2x+2-x)，而2ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立即2a≥-

h(2x)

g(x)

对于x∈[1，2]恒成立即2a≥-

4x+4-x

2x+2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)对于x∈[1，2]恒成立，只要求出函数-

h(2x)

g(x)

的最大值即可．

解答： 解：f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=

1

2

(2x+2-x)，g（x）=

1

2

(2x-2-x)，
2ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
2a≥-

h(2x)

g(x)

于x∈[1，2]恒成立
2a≥-

4x+4-x

2x+2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]则t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]单调递增，
t=

3

2

时，则t+

2

t

=

17

6

，a≥-

17

6

故答案为：a≥-

17

6

．

点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，函数的恒成立的问题，常会转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．