Question

在△ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C对应的三边，已知b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB sinC=

3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数求出B+C的度数，进而表示出B，代入已知等式中，整理为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可做出判断．

解答： 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）由（1）得B+C=

2π

3

，
∴sinBsinC=sin（

2π

3

-C）sinC=

3

4

，
整理得：

3

sin2C-cos2C=2，即sin（2C-

π

6

）=1，
又-

π

6

＜2C-

π

6

＜

7π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∴△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．