Question

厦门市为了做好新一轮文明城市创建工作，进一步增强市民的文明意识，在市区公共场所张贴了各种文明公约．有关部门为了了解市民对公约的熟知程度，对下面两个问题进行了调查：
问题一：乘坐公交车时，乘客应遵守哪些道德行为？
问题二：在公共场所，市民应注意哪些礼仪？
调查结果统计如下（被调查者至少回答两个问题中的一个）：

年龄段	问题一		问题二
	回答正确人数	占本组人数的频率	回答正确人数	占本组人数的频率
[10，20）	15	c	10	0.5
[20，30）	15	a	12	0.4
[30，40）	28		24
[40，50）	30	0.6	b	0.8
[50，60）		0.9	42

已知同一年龄段中回答问题一与问题二的人数是相同的．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）为使活动得到市民更好的配合，调查单位采取如下鼓励措施：正确回答问题一者奖励价值20元的礼物；正确回答问题二者奖励价值30元的礼物；有一家庭的两成员（大人42岁，孩子13岁）参与了此项回答．已知他们都回答了一个问题，并且所回答的问题是不同的，若将频率近似值看作概率，问这个家庭获得礼物价值的数字期望最大是多少？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布表

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，从而

30

0.6

=

b

0.8

，且

15

a

=

12

0.4

，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由表知：

15

c

=

10

0.5

，解得c=

3

4

，42岁大人回答问题一、二的正确率分别为

3

5

，

4

5

，13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为

3

4

，

1

2

，由此能求出这个家庭获得礼物价值的数字期望最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，
∴

30

0.6

=

b

0.8

，且

15

a

=

12

0.4

，
解得a=

1

2

，b=40．
（Ⅱ）由表知：

15

c

=

10

0.5

，解得c=

3

4

，
∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为

3

5

，

4

5

，
13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为

3

4

，

1

2

，
（i）当大人回答第一个问题，小孩回答第二个问题时，
记这个家庭所获奖品价值为ξ元，
则ξ的可能取值为0，20，30，50，
P（ξ=0）=（1-

3

5

）（1-

1

2

）=0.2，
P（ξ=20）=

3

5

(1-

1

2

)=0.3，
P（ξ=30）=（1-

3

5

）×

1

2

=0.2，
P（ξ=50）=

3

5

×

1

2

=0.3，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	20	30	50
P	0.2	0.3	0.2	0.3

Eξ=0×0.2+20×0.3+30×0.2+50×0.3=27．
（ii）当小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题时，
设这个家长所获奖品价值为η元，
 则η的可能取值为0，20，30，50，
P（η=0）=（1-

3

4

）（1-

4

5

）=0.05，
P（η=20）=

3

4

×(1-

4

5

)=0.15，
P（η=30）=（1-

3

4

）×

4

5

=0.2，
P（η=50）=

3

4

×

4

5

=0.6．
∴Eη=0.05×0+0.15×20+0.2×30+0.6×50=39．
∴这个家庭获得礼物价值的数字期望最大39元．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法与应用，解题时要认真审题，是中档题．