Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3
（1）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令它大于0，得单调增区间，令小于0，得减区间，从而求出极值；
（2）对a讨论：a=0，a＜0，0＜a＜2三种，分别求出单调区间和极值，判断它们的符号，从而确定函数的零点个数．

解答： 解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）当a=-2时，f'（x）=-6（x+1）（x-1），
令f'（x）=0得x₁=1，x₂=-1，
f'（x）＜0时，x＜-1或x＞1；f'（x）＞0时，-1＜x＜1．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递增区间为（-1，1），
f（x）_极小值=f（-1）=-7，f（x）_极大值=f（1）=1．
（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）只有一个零点．
②若a＜0，f′（x）=0的两根为x1=

2

a

，x2=1，则

2

a

＜1，
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＜0，当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＞0
∴f（x）的极大值为f(1)=-

a

2

＞0∵f（x）的极小值为f(

2

a

)=-

4

a2

+

6

a

-3＜0
∴f（x）有三个零点．
③若0＜a＜2，则

2

a

＞1，
∴当x＜1或x＞

2

a

时，f'（x）＞0，当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f（x）的极大值为f(1)=-

a

2

＜0
∴f（x）有一个零点．
综上，当a＜0时，f（x）有3个零点；当0≤a＜2时，f（x）有1个零点．

点评：本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，同时考查函数的零点个数，注意结合函数的极值的符号，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．