Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面△ADE为等边三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，M为DE的中点，F为AC的中点，且AC=4．
（1）求证：平面AED⊥平面BCD；
（2）求证：FB∥平面ADE；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先根据直线与平面垂直的判定定理证明AM⊥平面BCD，然后根据平面垂直的判定定理证明平面ADE⊥平面BCD．
（2）取DC中点N，首先证明FN∥平面ADE，然后再证明BN∥平面ADE，再根据平面与平面平行的判定定理证明平面ADE∥平面FNB，最后由面面平行的性质证明FB∥平面ADE．
（3）由AM⊥平面BCD，AM=

3

，由此能求出四棱锥A-BCDE的体积．

解答： （1）证明：∵△ADE是等边三角形，DE=2，M是DE的中点，
∴AM⊥DE，AM=

3

，
∵底面BCDE是等腰梯形，
且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，
M为DE的中点，F为AC的中点，且AC=4
∴在△DMC中，DM=1，MC²=16+1-2×4×1×cos60°=13，
即MC=

13

，
在△AMC中，AM²+MC²=3+13=16=AC²，
∴AM⊥MC，
又AM⊥DE，MC∩DE=M，∴AM⊥平面BCD，
∵AM?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCD．
（2）证明：取DC的中点N，连结FN，NB，
∵F，N分别是AC，DC的中点，
∴FN∥AD，
∵FN不包含于平面ADE，AD?平面ADE，
∴FN∥平面ADE，
∵N是DC的中点，∴BC=NC=2，
又∠CDE=60°，∴△BCN是等边三角形，
∴BN∥DE，∵FN∩BN=N，∴平面ADE∥平面FNB，
∵FB⊆平面FNB，∴FB∥平面ADE．
（3）解：由（1）知AM⊥平面BCD，AM=

3

，
∵底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，
∴BE=4-1-1=2，等腰梯形BCDE的高为

3

，
∴四棱锥A-BCDE的体积：
V=

1

3

×S梯形BCDE×AM
=

1

3

×(4+2)×

3

2

×

3

=3．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．