Question

已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（-

3

，0），右顶点A（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为

1

2

的直线l经过点F且交椭圆C于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用中心在原点的椭圆C的左焦点F（-

3

，0），右顶点A（2，0），可得a，c，求出b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）直线l的方程为y=

1

2

（x+

3

），代入椭圆方程，利用弦长公式，即可求弦长|AB|．

解答： 解：（1）∵中心在原点的椭圆C的左焦点F（-

3

，0），右顶点A（2，0），
∴c=-

3

，a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）直线l的方程为y=

1

2

（x+

3

），代入椭圆方程可得2x²+2

3

x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

3

，x₁x₂=-

1

2

，
∴|AB|=

1+ 1 4

•

3-4×(- 1 2 )

=

5

2

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．