Question

已知函数f（x）=lnx的图象与g（x）=ax+

b

x

的图象交于点P（1，0），且在P点处有公共切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）对任意x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

考点：导数的几何意义,函数的单调性与导数的关系

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=lnx的图象与g（x）=ax+

b

x

的图象交于点P（1，0），且在P点处有公共切线，可得g（1）=a+b=0且g'（1）=f'（1）=a-b=1，解得a，b的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），利用导数法可得F（x）在（0，+∞）上为减函数，分当0＜x＜1时；当x=1时；当x＞1时；三种情况讨论，可得f（x）与g（x）的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的图象与g（x）=ax+

b

x

的图象交于点P（1，0），
∴g（1）=a+b=0①…（2分）
又f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，
由f（x）与g（x）在点（1，0）处有公共切线，
∴g'（1）=f'（1）=1，
即a-b=1②…（4分）
由①②锝a=

1

2

，b=-

1

2

…（6分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），
则F(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)=lnx-

1

2

x+

1

2x

…（7分）
∴F′(x)=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2≤0
∴F（x）在（0，+∞）上为减函数     …（9分）
当0＜x＜1时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；
当x=1时，F（1）=0，即f（x）=g（x）；
当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．…（12分）

点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，导数法确定函数的单调性，是导数的简单综合应用，难度中档．