【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求
的取值范围;
(Ⅱ)证明:.
【答案】(Ⅰ), ………………2分
xf′(x)=xlnx+1,
题设xf′(x)≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a,
令g(x)=lnx-x,则g’(x)=。 ………………4分
当0<x<1时,g’(x)>0;当x≥1时,g’(x)≤0,x=1是g(x)的最大值点,
g(x)≤g(1)=-1。 ………………6分
综上,a的取值范围是[-1,+∞)。 ………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=-1,即lnx-x+1≤0;
当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)≤0;………10分
当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+-1)≥0
所以(x-1)f(x)≥0
【解析】
本试题主要考查了导数在研究函数中的运用,以及利用导数求解不等式,或者参数范围的运用。
解:(Ⅰ),
,
题设等价于
.
令,则
当,
;当
时,
,
是
的最大值点,
综上,的取值范围是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即
.
当时,
;
当时,
所以
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:
,
,
三点共线.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:
)记录下来并绘制出如下的折线图:
(1)分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值;
(2)轮胎的宽度在内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲乙提供的个轮胎中随机选取
个,求所选的轮胎是标准轮胎的概率
;
(ii)试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列满足:对于任意
均为数列
中的项,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列的前
项和
,求证:数列
为“
数列”;
(2)若公差为的等差数列
为“
数列”,求
的取值范围;
(3)若数列为“
数列”,
,且对于任意
,均有
,求数列
的通项公式.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:5公里以内(含5公里),票价2元;5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,
(1)请根据题意,写出票价与里程
之间的函数解析式,并画出函数
的图象.
(2)与
在(5,10]内有且仅有1个公共点,求a范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数(
为常数)满足条件
,且方程
有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)是否存在实数使函数
的定义域和值域分别为
和
?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com