Question

已知曲线C：y=f（x）=x³-3px²（p∈R）．
（Ⅰ）当p=

1

3

时，求曲线C的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）设斜率为m的两条直线与曲线C相切于A，B两点，求证：AB中点M在曲线C上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，又已知直线AB的方程为：y=-x-1，求p，m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当p=

1

3

时，先求导，通过斜率为1得到切点．然后利用点斜式得到所求切线方程；
（Ⅱ）先将A，B两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示．再由导数的几何意义，得到A，B两点横坐标满足x₁+x₂=2p．从而得到AB中点M，即可得到结论．
（Ⅲ）由AB中点在直线y=-x-1，又在曲线C，从而得p=1，再反代如直线与曲线联立得方程，得到A．B两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到m=3．

解答： 解：（Ⅰ）当p=

1

3

时，y=f（x）=x³-x²，
函数的导数为f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）=3x²-2x=1，解得x=1或x=-

1

3

，即切点坐标为（1，0）或（-

1

3

，-

4

27

），
对应的切线方程为y=x=-1，或y=x+

5

27

．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6px，设A（x₁，x₁³-3px₁²），B（x₂，x₂³-3px₂²），（x₁≠x₂），
由导数的几何意义得

m=3x12-6px1 m=3x22-6px2

，即3（x₁+x₂）（x₁-x₂）-6p（x₁-x₂）=0，
解得x₁+x₂=2p，
∵

x13-3px12+x23-3px22

2

=

(x1+x2)(x12-x1x2+x22)-3p[(x1+x2)2-2x1x2]

2

=

2p[(2p)2-3x1x2]-3p[(2p)2-2x1x2]

2

=-2p³，
∴AB的中点M（

x1+x2

2

，

x13-3px12+x23-3px22

2

），即M（p，-2p³）
又AB的中点M在曲线C上，等价为，-2p³=p³-3p•p²，显然成立．
（Ⅲ）知，AB中点M的横坐标为p，且M在AB上，则M（p，-p-1），
又M在曲线C上，∴-p-1=p³-3p•p²，即2p²-p-1=0，
则（p-1）（2p²+2p+1）=0，
所以p=1．
由

y=x3-3x2 y=-x-1

，即x³-3x²+x+1=0，
则（x³-x²）-（2x²-2x）-x+1=0，即（x-1）（x²-2x-1）=0，
由于x₁+x₂=2．x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
故m=3x₁²-6x₁=3（1+

2

）²-6（1+

2

）=3．
综上，p=1，m=3为所求．

点评：本题主要考查导数的几何意义，直线的方程，直线与曲线的位置关系．综合性较强．