Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0）．
（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）当b=-1时，如果f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），记x₀=

x1+x2

2

．试问：f（x）的图象在点C（x₀，f（x₀））处的切线是否平行于x轴？证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当b=1时，求函数的奥斯，根据函数单调性和导数之间的关系，求a的取值范围；
（Ⅱ）根据导数的几何意义，求出对应的切线斜率，根据切线斜率的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由题意f′（x）=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

＜0有解．
即2ax²+x-1＞0，即判别式△=1+8a＞0，
解得a＞-

1

8

且a≠0，
故a的取值范围是{a|a＞-

1

8

且a≠0}．
（Ⅱ）假设f（x）的图象在点C（x₀，f（x₀））处的切线平行于x轴，则有
f′（x₀）=

1

x0

-2ax0+1=

2

x1+x2

-a（x₁+x₂）+1=0，
即

2

x1+x2

=a（x₁+x₂）-1，①
又f（x₁）=lnx₁-ax₁²+x₁=0②
f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=0 ③
②-③得ln

x1

x2

-a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（x₁-x₂）=0，
从而

ln x1 x2

x1-x2

=a（x₁+x₂）-1，④
由①④得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，得lnt=

2(t-1)

t+1

             ⑤10分
令h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，（0＜t＜1），则h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以h（t）=在（0，1）上单调递增，从而有h（t）＜h（1）=0，
即lnt＜

2(t-1)

t+1

，这与⑤式矛盾，
故f（x）的图象在点C（x₀，f（x₀））处的切线不平行于x轴．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及导数的几何意义，利用导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算能力．