Question

设点P到两点（0，-

3

）（0，

3

）的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹方程C
（2）设直线y=kx+1与C交与A，B两点，问K为何值时，

.

OA

•

.

OB

=0．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题中条件：“点P到两点（0，-

3

）（0，

3

）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．
（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-

3

）、（0，

3

）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
点P的轨迹方程C为x2+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，消去y并整理得：
（k²+4）x²+2kx-3=0①，故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

，

.

OA

•

.

OB

=0等价x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-

3(1+k2)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．经验证满足①中△＞0．

点评：本题考查求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．