Question

若直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圆x²+y²+2x-4y-4=0截得的弦长为6，则

2

m

+

1

n

的最小值是（　　）

• A、

  2

  +

  3

  2

• B、2

  2

  +3
• C、4
• D、8

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由已知条件推导出直线mx-ny+2=0过圆心（-1，2），从而

m

2

+n=1，由此利用基本不等式能求出

2

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：∵直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圆x²+y²+2x-4y-4=0截得的弦长为6，
圆x²+y²+2x-4y-4=0的圆心（-1，2），半径r=

1

2

4+16+16

=3，
∴直线mx-ny+2=0过圆心（-1，2），
∴m+2n=2，即

m

2

+n=1，
∴

2

m

+

1

n

=（

2

m

+

1

n

）（

m

2

+n）
=1+

m

2n

+

2n

m

+1≥2+2

m 2n • 2n m

=2．
当且仅当

m

2n

=

2n

m

时取等号，
∴

2

m

+

1

n

的最小值是4．
故选：C．

点评：本题考查两数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意直线与圆的位置关系、均值定理的合理运用．