Question

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）证明：-3≤f（x）≤3；
（2）若不等式f（x）≥（m-2）²-2|m-2|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据函数f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x＜5 3，x≥5

，求出函数的值域，可得要证的不等式成立．
（2）由题意可得 3≥（m-2）²-2|m-2|，即 2|m-2|≥m²-4m+1，由

m＞2 2m-4=m2-4m+1

求得m=5；由

m＜2 4-2m=m2-4m+1

求得m=-1，从而求得要求的实数m的取值范围．

解答： 解：（1）证明：∵函数f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x＜5 3，x≥5

，
故当x＜2时，f（x）=-3；当2≤x＜5时，f（x）=2x-7∈[-3，3）；当x≥5时，f（x）=3，
故函数的值域为[-3，3]，故有：-3≤f（x）≤3．
（2）∵不等式f（x）≥（m-2）²-2|m-2|有解，f（x）的最大值为3，∴3≥（m-2）²-2|m-2|，
即 2|m-2|≥m²-4m+1，故函数y=2|m-2|的图象在函数y=m²-4m+1的上方．
由

m＞2 2m-4=m2-4m+1

 求得m=5；由

m＜2 4-2m=m2-4m+1

 求得m=-1．
故要求的实数m的取值范围为（-1，5）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．