Question

如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．

(把你认为正确的结论都填上)

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；

④二面角C—B1D1－C1的正切值是；

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．

Answer 1

①②④

【解析】

试题分析：如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，

由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．

由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．

同理可得 B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．

AC1与底面ABCD所成角的正切值为，故③不正确．

取B1D1 的中点M，则∠CMC1 即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=，故④正确．

如下图，由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，过A1 作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1 在面α上方作射线A1H，

则满足与MN、PQ 成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，

满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．

故答案为 ①②④．

考点：①二面角的定义及求法；②直线和平面平行的判定；③直线和平面垂直的判定；④异面直线的判定.