Question

（本小题满分14分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．

（Ⅰ）求动点D的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，

① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程；

② 试问在x轴上是否存在点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）x2+y2=3；（Ⅱ）﹣2 .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设，然后根据线段AB的长为，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；

（Ⅱ）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；

②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设，将表示出来，使其与k无关即可求出m的值．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）设，

∵D是AB的中点，∴x=，y=，

∵|AB|=，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，

∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．

（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，﹣），此时|PQ|=2，不符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为，

由=，解得k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣1）．

②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），

由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，

设则由韦达定理得，，

则， ，

∴

要使上式为定值须，解得m=1，∴为定值﹣2，

当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），

由E（1，0）可得=（0，﹣），=（0，），

∴=﹣2，

综上所述当E（1，0）时，为定值﹣2．

考点：①向量在几何中的应用；②轨迹问题和直线和圆的方程的应用；③转化的思想和计算的能力.