Question

如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

Answer 1

解：（1）设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，
∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，
∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD= ×AD×S_△BCD= ×（3-x）× ×x（3-x）= （x³-6x²+9x）
设f（x）= （x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）= （x-1）（x-3），
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大。
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，
由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），
且=（-1，1，1）设N（0，λ，0），
则=（-，λ-1，0）
∵EN⊥BM，
∴·=0
即（-1，1，1）（-，λ-1，0）=+λ-1=0，
∴λ=，
∴N（0，，0）
∴当DN=时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），
由及=（-1，，0）得，
取=（1，2，-1）
设EN与平面BMN所成角为θ，
则=（-，，0）
sinθ=|cos＜，＞|=||==
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
。