Question

求函数y=2x-

1-2x

的值域

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围），把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可．

解答：解：令t=

1-2x

，（t≥0），
则x=

1-t2

2

，问题转化为求函数f（t）=-

1

2

t2+t+

1

2

在t≥0上的值域问题，
由于函数f（t）=-

1

2

t2+t+

1

2

=-

1

2

(t-1)2+1（t≥0），
故函数f（t）有最大值f（1）=1．无最小值，
故其值域为（-∞，1]，
即原函数的值域为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题．换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目．