Question

若（

1

3 x

-

x

）ⁿ展开式中奇数项各项的二项式系数和为64，则展开式中的有理项是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由条件求得n=7，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为有理数，求出r的值，可得展开式中的有理项．

解答： 解：∵（

1

3 x

-

x

）ⁿ展开式中奇数项各项的二项式系数和为2^n-1=64，∴n=7．
∴（

1

3 x

-

x

）ⁿ=（

1

3 x

-

x

）⁷开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x

5r

6

-

7

3

，
令

5r

6

-

7

3

为有理数，可得5r-14为6的倍数，∴r=4，
∴展开式中的有理项是

C

4 7

x=35x，
故答案为：35x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．