Question

已知函数f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π）（ω＞0），其图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π．
（1）若g（x）=f（

3

4

x+

π

4

），求g（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）若f（α）+f（

π

2

-α）=

4+ 21

2

，且α∈（

π

4

，

π

2

），试求

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，借助于两角和与差的正弦、余弦公式化简，然后，借助于周期公式，确定ω的值，从而得到函数的解析式，最后确定g（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）根据（1），将等式f（α）+f（

π

2

-α）=

4+ 21

2

化简，然后得到sinα，cosα的差和积的值，最后，对待求式子进行化简，从而得到结果．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π），
∴函数f（x）=4（cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

）sinωx+cos2ωx
=

3

sin2ωx+1-cos2ωx+cos2ωx
=

3

sin2ωx+1，
∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，
∴f（x）=

3

sinx+1，
∴g（x）=f（

3

4

x+

π

4

）=

3

sin（

3

4

x+

π

4

）+1，
∵x∈[0，π]，
∴（

3

4

x+

π

4

）∈[

π

4

，π]，
令t=

3

4

x+

π

4

，
∴y=

3

sint+1的单调递增区间为[

π

4

，

π

2

]，
∵

π

4

≤

3

4

x+

π

4

≤

π

2

，
∴x∈[0，

π

3

]，
∴g（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]．
（2）根据（1），

3

（sinα+cosα）+2
∴

3

（sinα+cosα）+2=

4+ 21

2

，
∴sinα+cosα=

7

2

，
∴cosα-sinα=-

1

2

，sinαcosα=

3

8

，
∵

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

=

(6cos2α-3)( 1 sinαcosα )

sinα+cosα

=

3(cos2α-sin2α)

sinα+cosα

•

1

sinαcosα

=

3(cosα-sinα)

sinαcosα

=

3(- 1 2 )

3 8

=-4．
∴

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

的值-4．

点评：本题综合考查了二倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，考查比较综合，属于中档题．