Question

【题目】对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”.

（1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件.

Answer 1

【答案】（1）是位差奇函数，详见解析不是位差奇函数；（2），；（3），.

【解析】

（1）根据“位差奇函数”的定义．考查f（x+m）﹣f（m）=2x,和h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）是否为奇函数即可，

（2）依题意，是奇函数，求出φ；

（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．

（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，

∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，

即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；

对于g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），

由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立，

∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；

（2）依题意，是奇函数，

∴（k∈Z）．

（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm

＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．

依题意，h（x）对任意都不是奇函数，

若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．

故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．