Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径为9．
(Ⅰ)求证：平面ABCD⊥平面ADE；
(Ⅱ)求二面角D-BC-E的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，AE⊥CD， 
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，CD⊥平面ADE，
∵CD平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE 。
(Ⅱ)解法一：CD⊥平面ADE，DE平面ADE，
∴CD⊥DE，
∴CE为圆O的直径，即CE=9，
设正方形ABCD的边长为a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由，解得：，
∴，
过点E作EF⊥AD于点F，作FC∥AB交BC于点G，连接GE，

 由于AB⊥平面ADE，EF平面ADE，
∴EF⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，
∵BC平面ABCD，
∴BC⊥EF，
∵BG⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG，
∵EG平面EFG，
∴BC⊥EG，
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，
在Rt△ADE中，AD=3，AE=3，DE=6，
∵AD·EF=AE·DE，
，
在中，，
∴，
故二面角D-BC-E的平面角的正切值为。
 解法二：CD⊥平面ADE，DE平面ADE，CD⊥DE，
∴CE为圆O的直径，即CE=9，
设正方形ABCD的边长为a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
以D为坐标原点，分别以ED，CD所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E( -6，0，0)，，
 
设平面ABCD的法向量为，
则，即，
取x₁=l，则n₁=(1，0，2)是平面ABCD的一个法向量，
设平面BCE的法向量为n₂=(x₂，y₂，z₂)，
则，即，
取，则是平面BCD的法向量，
∵，
，∴
故二面角D-BC-E的平面角的正切值为。