Question

如图，曲线c₁：y²=2px（p＞0）与曲线c₂：（x-6）²+y²=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且

OM

•

ON

=0．
（1）求曲线c₁的方程；
（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c₁交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12，可得M的坐标，代入抛物线方程，即可求曲线c₁的方程；
（2）利用点差法求出直线AB的斜率，可得AB的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式，可求线段AB的长度．

解答： 解：（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12
所以M（6，6），…（3分）
所以6²=2p×6
所以p=3…（4分）
所以曲线为y²=6x…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因为（3，2）是AB中点
所以x₁+x₂=6，y₁+y₂=4…（6分）
则由点差法得k=

y2-y1

x2-x1

=

3

2

…（8分）
所以直线l：3x-2y-5=0
由

y2=6x 3x-2y-5=0

得y2-4y-10=0
所以由韦达定理

y1+y2=4 y1y2=-10

…（10分）
所以|AB|=

(1+ 4 9 )(16+40)

=

2 182

3

…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．