Question

已知函数f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a，其中（a≠0）
（1）若函数在（-∞，2]上单调递增，求a的范围；
（2）若f（lgx）=0的两根之积为10，求a的值；
（3）若g（x）=

f(x)

a

，是否存在实数a，使得g（g（x））=0只有一个实数根？若存在，求出a的值或者范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的单调性即可求得a的范围；
（2）设lgx=t，则得到方程at²+（2a+1）t+1-3a=0，则t1+t2=-

2a+1

a

=lg(x1x2)=1，x₁，x₂是原方程的两实根，这样解出a即可；
（3）先求g（x）=x2+

2a+1

a

x+

1-3a

a

，求得△=

1

a2

+16＞0，所以方程g（x）=0有两不等实根．而由g（g（x））=0得，g2(x)+

2a+1

a

g(x)+

1-3a

a

=0，所以可令g（x）=t，所以t2+

2a+1

a

t+

1-3a

a

=0，而该方程有两不等实根，并设为t₁，t₂，所以有g（x）=t₁，或g（x）=t₂，根据题意便知这两个方程只有一个解，并且可设g（x）=t₁无解，g（x）=t₂有一个解，根据判别式的取值情况即可得到

t1＜-4 t2＜-4

，而根据韦达定理即可得到关于a的不等式，解不等式即得a的取值．

解答： 解：（1）f（x）为二次函数，对称轴为x=

2a+1

-2a

；
∴若函数在（-∞，2]上单调递增，则：

a＜0 2a+1 -2a ≥2

，解得，-

1

6

≤a＜0；
∴a的范围为[-

1

6

，0）；
（2）设f（lgx）=0的两根为x₁，x₂，令t=lgx，则：
t₁=lgx₁，t₂=lgx₂为方程at²+（2a+1）t+1-3a=0的两根；
则：∴t₁+t₂=lgx₁+lgx₂=lgx₁x₂=lg10=1；
即：t1+t2=

2a+1

-a

=1，∴a=-

1

3

；
经检验a=-

1

3

时，原方程有两个根，所以a的值为-

1

3

；
（3）g（x）=

f(x)

a

=x2+

2a+1

a

x+

1-3a

a

，令

2a+1

a

=p，

1-3a

a

=q；
因为△=p2-4q=

1

a2

+16＞0恒成立，则方程x²+px+q=0有两不等实根；
由g（g（x））=0得，g²（x）+pg（x）+q=0，令g（x）=t，则得到：
t²+pt+q=0，该方程有两不等实根，设为t₁，t₂，则：
g（x）=t₁，或g（x）=t₂，（t₁≠t₂）；
即x2+px+q=t1，或x2+px+q=t2，根据题意，这两个方程只有一个解；
不妨设x²+px+q=t₁无解，x²+px+q=t₂只有一个解；
∴

△1=p2-4(q-t1)＜0 △2=p2-4(q-t2)=0

；
∴

t1＜q- p2 4 t2=q- p2 4

；
又q-

p2

4

=

1-3a

a

-

(2a+1)2

4a2

=

1

a

-3-1-

1

a

-

1

4a2

＜-4；
∴

t1＜-4 t2＜-4

；
即方程t²+pt+q=0的两根都小于-4；
根据韦达定理得：

- 2a+1 a ＜-8 g(-4)= 5a-3 a ＞0

，解得：a∈∅；
所以不存在这样的a．

点评：考查二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，一元二次方程解的情况和判别式△的关系．