Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．
（2）要探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长，我们可以转化为探求圆（x-4）²+y²=16与（1）所求的圆的交点数．

解答： 解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

|m-n|

2

=2

2

即|m-n|=4①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m²+n²=8②
联立方程①和②组成方程组解得

m=-2 n=2

故圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）设Q（x，y），则Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长，方程为（x-4）²+y²=16．
联立两圆，解得x=

4

5

，y=

12

5

．
即存在异于原点的点Q（

4

5

，

12

5

），使得Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长．

点评：本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中，探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长，我们可以转化为探求圆（x-4）²+y²=16与（1）所求的圆的交点数，可使问题简化．