Question

已知0＜a＜b，且a+b=1，下列不等式中，一定成立的是（　　）
①log₂a＞-1；②log₂a+log₂b＞-2；③log₂（b-a）＜0；④log₂（

b

a

+

a

b

）＞1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数性质、均值定理、函数性质和特值法求解．

解答： 解：∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴当a=

1

3

，b=

2

3

时，log₂a=log2

1

3

＜log2

1

2

=-1，故①错误；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴1=a+b＞2

ab

，即ab＜

1

4

，
∴log₂a+log₂b＜log₂

1

4

=-2，故②错误；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴0＜b-a＜1，
∴log₂（b-a）＜log₂1=0，故③正确；
∵0＜a＜b，且a+b=1，∴

b

a

+

a

b

＞2

b a • a b

=2，
∴log₂（

b

a

+

a

b

）＞log₂2=1，故④正确．
故选：C．

点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意对数性质和运算法则的合理运用．