Question

设函数f（x）=A（sinωx+cosωx）（A＞0，ω＞0），正确的有

 

①f（x）的最大值为A；
②f（x）的最小正周期为

2π

ω

；
③函数f（x）在区间[0，

π

4

]上是增函数；
④若f（x）的图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，且f（x）在区间[

π

8

，

π

4

]上是单调的，则ω=2；
⑤若f（

π

8

）=f（

3π

8

），则f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称”．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件利用正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，对各个结论的正确性作出判断，从而得出结论．

解答： 解：由于函数f（x）=A（sinωx+cosωx）=A

2

sin（ωx+

π

4

） （A＞0，ω＞0），
可得它的最大值为

2

A，故①不对．
可得它的最小正周期为

2π

ω

，故②正确．
根据ω不确定，故不能确定函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的单调性，故③不正确．
若f（x）的图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，则ω•

π

8

+

π

4

=kπ+

π

2

，即ω=8k+2，k∈z；
再由f（x）在区间[

π

8

，

π

4

]上是单调的，可得

π

4

-

π

8

≤

1

2

•

2π

ω

，即0＜ω≤8，则ω=2，故④正确．
若f（

π

8

）=f（

3π

8

），则f（x）的图象关于直线x=

π 8 + 3π 8

2

=

π

4

对称，故⑤正确，
故答案为：②④⑤．

点评：本题主要考查正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，属于基础题．