Question

如图，过原点O的直线与函数y=（

1

2

）^x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=（

1

4

）^x的图象于C，若AC∥y轴，则点A的坐标为

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：先设A（n，2^-n），B（m，2^-m），则由过B作y轴的垂线交函数y=（

1

4

）^x的图象于点C写出点C的坐标，再依据AC平行于y轴得出m，n之间的关系：n=

m

2

，最后根据A，B，O三点共线．利用斜率相等即可求得点A的坐标．

解答： 解：设A（n，2^-n），B（m，2^-m），
由4^-x=2^-m=2^-2x，即m=2x，
解得x=

m

2

，即C（

m

2

，2^-m）．
∵AC平行于y轴，
∴n=

m

2

，m=2n，
∴A（

m

2

，2^-n），B（m，2^-m），
又A，B，O三点共线．
∴k_OA=k_OB，
∴

2-n

m 2

=

2-m

m

，
∴n=m+1．
∴

m

2

=m+1，
解得m=-2，
∴n=-1，
∴故点A的坐标是（-1，2）
故答案为：（-1，2）

点评：本题主要考查了指数函数的图象与性质、直线的斜率公式、三点共线的判定方法等，属于基础题．