Question

甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一，据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为220万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为x，求x的分布列和数学期望E（x）．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知得总决赛进行了4场比赛，甲队胜的概率为：P_甲=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，乙队胜的概率为：P_乙=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为220万元的概率．
（Ⅱ）由已知得X=150，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和数学期望E（x）．

解答： 解：（Ⅰ）∵220=40+50+60+70，
∴总决赛进行了4场比赛，
甲队胜的概率为：P_甲=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，
乙队胜的概率为：P_乙=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，
∴总决赛中获得门票总收入恰好为220万元的概率：
P=P_甲+P_乙=

3

16

+

3

16

=

3

8

．
（Ⅱ）由已知得X=150，220，300，
P（X=150）=2×(

1

2

)3=

1

4

，
P（X=220）=

2×C

1 3

(

1

2

)4=

3

8

，
P（X=300）=2×

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

，
∴X的分布列为：

X	150	220	300
P	1 4	3 8	3 8

EX=150×

1

4

+220×

3

8

+300×

3

8

=232.5．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．