Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=

5

3

，an+2=

5

3

an+1-

2

3

an（n=1，2，3，…）．
（1）令b_n=a_n+1-a_n（n=1，2，3，…），求数列{b_n}及{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a₁=1，a₂=

5

3

，an+2=

5

3

an+1-

2

3

an（n=1，2，3，…）．变形为a_n+2-a_n+1=

2

3

(an+1-an)，a₂-a₁=

2

3

．即bn+1=

2

3

bn，b1=

2

3

．利用等比数列的通项公式可得b_n，因此a_n+1-a_n=(

2

3

)n．再利用“累加求和”a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出a_n．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂=

5

3

，an+2=

5

3

an+1-

2

3

an（n=1，2，3，…）．
∴a_n+2-a_n+1=

2

3

(an+1-an)，a₂-a₁=

2

3

．
∴bn+1=

2

3

bn，b1=

2

3

．
∴数列{b_n}是等比数列，
∴bn=(

2

3

)n．
∴a_n+1-a_n=(

2

3

)n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=(

2

3

)n-1+(

2

3

)n-2+…+

2

3

+1
=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3-

2n

3n-1

．
∴bn=(

2

3

)n，an=3-

2n

3n-1

．
（2）数列{a_n+b_n}的前n项和为S_n=

2 3 (1-( 2 3 )n)

1- 2 3

+3n-2×

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=2-2×(

2

3

)n+3n-6(1-(

2

3

)n)
=3n-4+

2n+2

3n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．