Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=

ax+b

1+x2

是奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

，
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立方程关系即可确定f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并用定义证明；
（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=b=0，
则f（x）=

ax

1+x2

，
∵f（

1

2

）=

2

5

，
∴f（

1

2

）=

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2

5

a=

2

5

，解得a=1，
即f（x）=

x

1+x2

；
（2）f（x）为增函数；
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）是增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0．
等价为f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
则等价为

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，即

0＜t＜2 -1＜t＜1 t＜ 1 2

，解得0＜t＜

1

2

即原不等式的解集为（0，

1

2

）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及函数单调性的证明，综合考查函数的性质．