Question

10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD，M为AF的中点，
（I）求证：AC⊥BM；
（2）求异面直线CE与BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）线线垂直转化为线面垂直，要证明AC⊥BM；只需证明BE⊥平面ABCD，即可．
（II）取BC的中点记为Q，BE的中点记为N，连接MN，QN，DQ，易得$CE∥QN，AB\underline{\underline∥}MN$．在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC可得$DQ\underline{\underline∥}AB$，所以四边形DMNQ为平行四边形，可得DM∥QN．故DM∥CE，∠DMB即为异面直线CE与BM所成的角（或其补角），利用余弦定理求解即可．

解答 解：（I）证明：∵四边形ABEF为正方形，∴BE⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE?平面ABEF．
∴BE⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．
设AD=1，则$AC=AB=\sqrt{2}$，
∴AC⊥AB且AB∩BE=B，
∴AC⊥平面ABEF，又BM?平面ABEF．∴AC⊥BM．
（II）取BC的中点记为Q，BE的中点记为N，连接MN，QN，DQ，
易得$CE∥QN，AB\underline{\underline∥}MN$．
在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC，
可得$DQ\underline{\underline∥}AB$，
∴四边形DMNQ为平行四边形，
可得DM∥QN．
故DM∥CE，
那么∠DMB即为异面直线CE与BM所成的角（或其补角）
设BC=2a，则AD=DC=a，
可得$DM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}a，BD=\sqrt{5}a，BM=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．$|{cos∠DMB}|=|{\frac{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}a}）^2+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}）}^2}-{{（{\sqrt{5a}}）}^2}}}{{2×\frac{{\sqrt{10}}}{2}a×\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}}}|=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．
得异面直线CE与BM所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．