Question

19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C₁=$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$1（a＞b＞0）上任意一点到点P（-1，0）的最小距离为1，且椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于点M、N，且△MON的面积为$\sqrt{3}$，问|OM|²+|ON|²是否为定值？若是，求出该定值，并求出sin∠MON的最小值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式求得a，b和c的关系，设Q点坐标，根据两点之间的距离公式，及二次函数的性质，即可求得c的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得m²=$\frac{3}{2}$+2k²，则|OM|²+|ON|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²，代入即可求得|OM|²+|ON|²为定值，定值为7，利用基本不等式性质及正弦定理即可求得sin∠MON的最小值．

解答 解：（1）由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，则b²=a²-c²=3c²，
则椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，设Q（2ccosθ，$\sqrt{3}$csinθ），
则丨PQ丨²=（2ccosθ+1）²+（$\sqrt{3}$csinθ）²=c²cos²θ+4ccosθ+3c²+1，
由二次函数的性质，可知cosθ=-1时，取最小值，
最小值为4c²-4c+1=1，解得：c=1，c=0（舍去），
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程x=m，代入椭圆方程解得：y²=$\frac{3（4-{m}^{2}）}{4}$，
由△MON的面积S=$\frac{1}{2}$×丨m丨×2丨y丨=$\sqrt{3}$，解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴丨OM丨²+丨ON丨²=2（x²+y²）=7，
当直线的斜率存在时，由直线l：y=kx+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
原点到直线的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△MON的面积S，S=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
两边平方得：4m²[（3+4k²）-m²+4k²]=（3+4k²）²，
则（3+4k²）²-4m²（3+4k²）+4m⁴=0，则（3+4k²-2m²）²=0，
解得：m²=$\frac{3}{2}$+2k²，
|OM|²+|ON|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂=（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{（8{k}^{2}-6）{m}^{2}+168{k}^{2}+96{k}^{4}+72}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
由m²=$\frac{3}{2}$+2k²，代入求得|OM|²+|ON|²=7，
∴|OM|²+|ON|²为定值，定值为7，
综上可知：丨OM丨²+丨ON丨²为定值，定值为7，
|OM|²+|ON|²≥2丨OM丨×丨ON丨，则丨OM丨×丨ON丨≤$\frac{丨OM{丨}^{2}+丨ON{丨}^{2}}{2}$=$\frac{7}{2}$，
由S=$\frac{1}{2}$×丨OM丨×丨ON丨sin∠MON=$\sqrt{3}$，
∴sin∠MON=$\frac{2\sqrt{3}}{丨OM丨丨ON丨}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin∠MON的最小值$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查正弦定理及基本不等式性质的应用，考查计算能力，属于难题．