Question

5．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0）焦点的直线x+y-2$\sqrt{2}$=0交M于P，Q两点，G为PQ的中点，且OG的斜率为9．
（Ⅰ）求M的方程；
（Ⅱ）A、B是M的左、右顶点，C、D是M上的两点，若AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），G（x₀，y₀），利用平方差法推出$\frac{a^2}{b^2}=9$，通过M的一个焦点，求出a，b，即可求出M的方程．
（Ⅱ）由题意可设直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y=k（x+1），联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$利用韦达定理以及弦长公式，求解四边形ABCD面积的表达式，通过换元法以及基本不等式求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），G（x₀，y₀），则$\frac{{{x_1}^2}}{b^2}+\frac{{{y_1}^2}}{a^2}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{b^2}+\frac{{{y_2}^2}}{a^2}=1$，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=-1$，
由此可得$\frac{{{a^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{b^2}（{y_1}+{y_2}）}}=-\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=1$，因为x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，$\frac{y_0}{x_0}=9$，所以$\frac{a^2}{b^2}=9$，
又由题意知，M的一个焦点为$（0，2\sqrt{2}）$，故a²-b²=8．因此a²=9，b²=1，
所以M的方程为${x^2}+\frac{y^2}{9}=1$．…5分
（Ⅱ）由题意可设直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y=k（x+1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$可得，（9+k²）x²+2k²x+k²-9=0，所以有${x_A}{x_C}=\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}$，进而可得${x_C}=-\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}$，所以$|AC|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_C}-{x_A}|=\frac{{18\sqrt{1+{k^2}}}}{{{k^2}+9}}$，…7分
同理可计算出$|BD|=\frac{{18\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{1}{k^2}+9}}=\frac{{18|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+9{k^2}}}$，
所以四边形ABCD面积$S=\frac{1}{2}|AC||BD|=\frac{1}{2}•\frac{{18\sqrt{1+{k^2}}}}{{{k^2}+9}}•\frac{{18|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+9{k^2}}}=\frac{{162|k|（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（{k^2}+9）}}$，…9分
设$y=\frac{{|k|（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（{k^2}+9）}}=\frac{{|k|+\frac{1}{|k|}}}{{（\frac{1}{k}+9k）（\frac{9}{k}+k）}}=\frac{{|k|+\frac{1}{|k|}}}{{9{k^2}+\frac{9}{k^2}+82}}$，令$|k|+\frac{1}{|k|}=t$（t≥2），所以${k^2}+\frac{1}{k^2}+2={t^2}$，此时$y=\frac{t}{{9{t^2}+64}}=\frac{1}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{1}{48}$，当且仅当$t=\frac{8}{3}$时取得等号，
所以四边形ABCD面积的最大值为$\frac{27}{8}$．…12分．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，运算求解能力的培养，为中等题．