Question

【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 函数v（x）的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知当0≤x≤20时，v（x）=60. 当20<x≤200时，设函数。由题意可知 ，代入求得 的值。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，分别求两段函数的最大值，哪个大就是函数的最大值。当0≤x≤20时，利用一次函数的单调性来求；当20<x≤200时，因为 等于定值200，所以可由基本不等式求最大值。

试题解析：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函数v（x）的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200

当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．

综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．