Question

如图所示，ABC-A₁B₁C₁是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC₁的中点，P是B₁B的中点，O是△ABC的中心，求证：
（1）平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）OP∥平面AB₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；只要证A₁B⊥平面ADB₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证A₁B与平面ADB₁内两相交直线垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，满足定理所需条件．
（2）连接CO并延长交AB于Q，则Q为AB的中点，连接CP，PQ，证明PC∥B₁D，PQ∥B₁A，利用面面平行的判定定理，可得平面PQC∥平面AB₁D，即可证明OP∥平面AB₁D．

解答： 证明：（1）连A₁B，与AB₁相交于E，连接DE，过C作CF⊥AB，则F为BC中点，
∵ABC-A₁B₁C₁是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC₁的中点，

∴Rt△ACD≌Rt△B₁C₁D，∴AD=B₁D
又E是AB₁的中点，∴AB₁⊥DE，DE∥CF，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥平面ABB₁A₁，DE?平面ADB₁，
∴平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）连接CO并延长交AB于Q，则Q为AB的中点，连接CP，PQ，
∵点D、P为棱CC₁、BB₁的中点，
∴PC∥B₁D，PQ∥B₁A，
∵PC∩PQ=P，B₁D∩B₁A=B₁，
∴平面PQC∥平面AB₁D，
∵OP?平面PQC，
∴OP∥平面AB₁D．

点评：本题考查面面垂直的判定定理和线面平行判定定理的运用，数量运用判定定理是关键．