Question

12．如果α与β的正切值可能相等，我们称这两个角是“亲情角”，已知tan（β-$\frac{π}{4}$）=2，下列选项中的角与β互为“亲情角”的是（　　）

• A． tanα=3
• B． sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． tan²（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$
• D． cosα=$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 先求出tanβ=-3，再分别计算四个选项中的角的正切值，由此能求出与β互为“亲情角”的角．

解答 解：∵tan（β-$\frac{π}{4}$）=2，
∴$\frac{tanβ-tan\frac{π}{4}}{1+tanβtan\frac{π}{4}}=2$，解得tanβ=-3，
在A中，tanα=3≠tanβ，故A不成立；
在B中，sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=$±\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$±\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$±\frac{1}{3}$，故B不成立；
在C中，tan²（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，$tan（α+\frac{π}{4}）=±\frac{1}{2}$，
当tanα=-3时，$tan（α+\frac{π}{4}）$=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{-3+1}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，成立，故C成立；
在C中，cosα=$\frac{1}{3}$，sinα=$±\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$±\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$±2\sqrt{2}$，故D不成立．
故选：C．

点评 本题考查角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式的合理运用．