Question

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2=a2+c2-

3

ac，c=

3

b．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosB=

3

2

，从而得到B=

π

6

．由c=

3

b结合正弦定理，算出sinC=

3

sinB=

3

2

，进而得到C=

π

3

或C=

2π

3

，最后由三角形内角和定理即可算出角A的大小．
（2）根据正弦定理，得b=2RsinB，c=2RsinC，从而S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC，再代入（1）中求出的数据，即可得到△ABC的面积．

解答：解：（1）∵在△ABC中，b2=a2+c2-

3

ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

6

…（3分）
∵c=

3

b，∴根据正弦定理，得sinC=

3

sinB=

3

sin

π

6

=

3

2

∵C∈（0，π），∴C=

π

3

或C=

2π

3

…（6分）
当C=

π

3

时，A=π-B-C=

π

2

；当C=

2π

3

时，A=π-B-C=

π

6

综上所述，A=

π

2

或

π

6

…（8分）
（2）∵

b

sinB

=

c

sinC

=2R，∴b=2RsinB，c=2RsinC…（10分）
当A=

π

2

时，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=2

3

…（12分）
当A=

π

6

时，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=

3

综上所述：当A=

π

2

时，S△ABC=2

3

，当A=

π

6

时，S△ABC=

3

…（14分）

点评：本题给出三角形边之间的关系式，求角A的大小并求三角形的面积，着重考查了正弦定理的面积公式、三角形内角和定理与用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．