Question

（2012•吉安县模拟）已知在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量

m

=（sinA+sinC，sinB-sinA），

n

=（sinA-sinC，sinB），且

m

⊥

n

，
（1）求角C的大小；
（2）若a2=b2+

1

2

c2，试求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，得到其数量积为0，根据平面向量的数量积运算法则化简，整理后再利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，将C的度数代入，并利用二倍角的余弦函数公式化简后，再由三角形的内角和定理及C的度数，用A表示出B，代入化简后的式子中，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sin（2A+

π

3

）的值，然后将表示出的B代入所求的式子中，整理后利用诱导公式化简，将求出的sin（2A+

π

3

）的值代入即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA+sinC，sinB-sinA），

n

=（sinA-sinC，sinB），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（sinA+sinC）（sinA-sinC）+sinB（sinB-sinA）=0，
即sin²A-sin²C+sin²B-sinAsinB=0，
整理得：sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB，
由正弦定理得：c²=a²+b²-ab，即a²+b²-c²=ab，
再由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）∵a²=b²+

1

2

c²，
∴sin²A=sin²B+

1

2

sin²C，即sin²A-sin²B=

3

8

，
∴

1-cos2A

2

-

1-cos2B

2

=

3

8

，即cos2B-cos2A=

3

4

，
∵A+B+C=π，即A+B=

2π

3

，
∴cos（

4π

3

-2A）-cos2A=

3

4

，即-cos（

π

3

-2A）-cos2A=

3

4

，
整理得：

1

2

cos2A+

3

2

sin2A+cos2A=-

3

4

，即

3

2

cos2A+

1

2

sin2A=-

3

4

，
∴sin（2A+

π

3

）=-

3

4

，
则sin（A-B）=sin[A-（

2π

3

-A）]=sin（2A-

2π

3

）=-sin（2A-

2π

3

+π）=-sin（2A+

π

3

）=

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．